Tentin tekstisisältö

DEE-34306 Modeling of Electrical Machines and Magnetic Materials Paavo Rasilo
Tentti 12.5.2017

1. — Selitä lyhyesti:
a) jaksollisuusehto,
b) isoparametrinen elementti,
c) Newton-Raphson-menetelmä,
d) skalaari- ja vektoripotentiaalit,
e) Dirichlet'n ja Neumannin reunaehdot.

2. Oikealla oleva kuva esittää lineaarista kolmioelementtiä, jota
käytetään kaksiulotteisen magneettikentän laskentaan.
Vektoripotentiaalin solmuarvot ai, a2 ja as näkyvät myös kuvassa.
Laske vektoripotentiaali ja vuontiheyden x- ja y-komponentit kolmion
keskipisteessä (1,1).

Mittakäämi asetetaan siten, että sen sivut kulkevat z-suuntaan. Toinen
sivu kulkee keskipisteen (1,1) kautta ja toinen solmun (2,0) kautta.
Mittakäämin z-suuntainen pituus on 1 m. Mikä on mittakäämin
käämivuo? Koordinaatit on annettu metreissä (m), vektoripotentiaalin
arvot yksiköissä Wb/m. Mittakäämissä on yksi johdinkierros.

 

o 05 1 15 2 25

3. Määritellään funktio 7(% v) = 2xy . Halutaan laskea integraali x (m)

T= Il7 (0) da,

missä 2 on tehtävän 2 kuvassa oleva kolmioelementti, ja |:| esittää vektorinormia. Määritä integraalin 7
arvo numeerisesti käyttäen kolmipisteistä Gaussin menetelmää. Referenssielementin (5> 0, 7 > 0, E+n
< 1) integrointipisteet (5,7) ja -painot w on annettu oheisessa taulukossa. Lineaarisen kolmioelementin
koordinaatistomuunnos on

 

 

 

 

Integrointipisteet ja -painot
x % Ka Ya ;
=|"!|4J" 51, missä J=|"?"" YTN E d =
Yy N U] 3-8 Y-N 1/6 1/6 1/6
1/6 2/3 1/6
ja (xi, y), i=1, ..., 3 ovat solmupisteiden koordinaatit. 2/3 1/6 1/6

 

 

 

 

 

  

4. Kaksiulotteista — pyörrevirtatehtävää — ratkaistaan = elementtimenetelmällä. — Vektoripotentiaalin
solmuarvovektorille a saadaan differentiaaliyhtälö Sa+7Ta+ f =0. Johda yhtälöt solmuarvovektorin
ratkaisemiseksi, kun

a) suureiden sinimuotoista aikariippuvuutta mallinnetaan kompleksiluvuilla,

b) soveltamalla aikariippuvuuteen trapetsimenetelmää
A Lf38k naks
ak =at! ylä" +ä* "Jar

5. Oheisen — kuvan — mukaista — elementtiverkkoa — käytetään — yhtälön
V-(vV4)-J=0 ratkaisemiseen.  Elementtimenetelmän — mukainen
diskretointi johtaa matriisiyhtälöön Sa = f. Matriisin S alkiot ovat muotoa
S, = [WN,-VN,do.

n

Mitä voit kertoa matriisin S ominaisuuksista ja rakenteesta?

Tarkastellaan elementtiverkon solmuun n (kuva) liittyvää matriisin riviä n.
Kuinka monta nollasta poikkeavaa alkiota riville n muodostuu, kun
käytetään a) — lineaarisia —kolmioelementtejä, b) toisen asteen
kolmioelementtejä? Perustele.

Laskimet sallittu

 
 

DEE-34306 Modeling of Electrical Machines and Magnetic Materials Paavo Rasilo
Exam May 12 2017

1. Explain briefly what mean
a) periodicity condition,
b) isoparametric element,
c) Newton-Raphson method,
d) scalar and vector potentials,
e) Dirichlet and Neumann boundary conditions.

2. The figure on the right presents a linear triangular finite element
which is used in magnetic field computation. The nodal values of
the vector potential, a1, a2 and 43, are also given. Calculate the
value of the vector potential and the x- and y-components of the
flux density in the center point (1,1).

A search coil is positioned so that its two coil sides are oriented in
the z-direction. One coil side goes through the center point (1,1)
and the other through the node (2,0). The length of the search coil
is 1 m in the z-direction. What is the flux linkage of the search
coil? The coordinates are in meters (m), the vector potential values
in Wb/m. There is one turn in the search coil.

 

3. Let's definea function f(x,y)=2xy. We want to caleulate the integral
1= II7 (6) d0,
a

in which O is the triangular element of the figure of Ouestion 2, and |:| denotes the vector norm.
Calculate the value of integral / numerically using the three-point Gaussian integration. The integration
points (5,77) and weights w in the reference element (£> 0, 7 > 0, &+1 < 1) are given in the adjacent
table. The coordinate transformation of the triangular element is

 

 

 

 

 

 

 

Integration points and weights
X X JV- w
%|=] % [497 5 > inwhichJ=|" " %2%A = TT 176
Y N n a TM YTN
1/6 2/3 1/6
and (x;, v), 1=1, ..., 3 are the nodal point coordinates. 2/3 1/6 1/6

 

 

 

4. A two-dimensional eddy-current problem is solved using finite element method. The differential
eguation obtained for the vector of nodal values a is Sa+Ta+ f =0. Derive an eguation for solving
the nodal values,

a) when the sinusoidal time-variation of the nodal values is modelled using phasor guantities,
b) the time dependence is modelled by the trapezoidal (or Crank-Nicolson) rule:

at = at! +5(ä* +a )at

5. The finite element mesh on the right is used for solving eguation
V-(vV4)—-J=0. The finite element discretization leads to a matrix

eguation Sa= f, where the matrix elements S; are S, = Jwn, VN ,dO.
a

What can you tell about the characteristics and structure of matrix $?

Let us consider row n of the matrix associated with node n of the finite
element mesh. How many non-zero matrix elements there will be on row n
when a) first-order finite elements are used, b) second-order finite elements
are used? Justify the numbers of non-zero matrix elements.

Calculators are allowed.