Tentin tekstisisältö

COMPSSGN.100 Signaalinkäsittelyn perusteet 28.3.2023

 

COMPSSGN.100 Signaalinkäsittelyn perusteet,
Tentti, 28.3.2023,
Sari Peltonen

 

 

e Oma laskin sallittu.
€ Tenttikysymyksiä ei tarvitse palauttaa.
1. (a) Erään suotimen napa-nollakuvio on alla olevassa kuvassa ja tiedetään että sen ampli-
tudivaste |H(e'*)| € [0,1]. Hahmottele suotimen amplitudivasteen kuvaaja niin tar-
kasti kuin se näillä tiedoilla onnistuu. (2p)
(b) Onko suodin stabiili ja millä perusteella? (2p)
(c) Onko suodin FIR vai IIR ja millä perusteella? (2p)

 

 

 

 

15 r r r i i i
009900
1 o
o?
000
o oo?
o O
05
o &
> S
o 99
Ot s 8 sm x
= <
m 195
-05 a %,
o O,
o %000
4 o
5
a459
45 ” MN i . ” ”
2 15 1 05 o 0.5 1 15 2

2. (a) Laske vektorin x(n) = (5,7,—1,—1)" diskreetti Fourier-muunnos. (3p)
(b) Alla oleva järjestelmä voidaan toteuttaa yhtenä LTI-järjestelmänä. Mikä on saadun
järjestelmän impulssivaste h(n) ilmaistuna impulssivasteiden h;(n), h2(n) ja ha(n)
avulla? (3p)

 

hi(n) [—->| hz(n)

 

 

 

 

x(n) yln)

 

ha(n)

 

 

 

Sivu 1/4

 
 

COMPSSGN.100 Signaalinkäsittelyn perusteet 28.3.2023

3. Oletetaan, että kausaalisen LTI järjestelmän heräte x(n) ja vaste y(n) toteuttavat seuraa-

van differenssiyhtälön:

 

 

yln) yln —1) jyln 2) + x(n) — 2x(n — 1) + 2x(n — 2).

(a) Määritä järjestelmän siirtofunktio H(z). (2p)
(b) Piirrä järjestelmän napa-nollakuvio. (2p)
(c) Onko järjestelmä stabiili? Miksi / miksi ei? (2p)

. Suunnittele ikkunamenetelmällä suodin (selvitä käsin impulssivasteen lauseke), jonka

vaatimukset ovat seuraavat:

Estokaista [0 kHz,4 kHz]
Päästökaista [5.5 kHz, 16 kHZ]
Päästökaistan maksimivärähtely 0.1 dB
Estokaistan minimivaimennus 51 dB
Näytteenottotaajuus 32 kHz

Käytä oheisia taulukoita hyväksesi. (6p)

. Alla oleva kuva esittää opetusdataa, jossa on kaksi luokkaa: "punaiset neliöt"(m) ja "siniset

pallot"(e). Luokitteluun käytetään k:n lähimmän naapurin (k-NN) luokittelijaa. Kumpaan
luokkaan kuvaan merkitty musta näyte ($) kohdassa (3.5, 3) luokitellaan, kun käytössä on

 

(a) 1-NN luokittelija, (e) 9-NN luokittelija,

(b) 3-NN luokittelija, (f) 11-NN luokittelija?

(c) 5-NN luokittelija,

(d) 7-NN luokittelija, : Perustele kukin vastauksesi. (6p)
5 ' ' r r
4 014

3
o

 

2 o
21 [4 |
1 o " o n
2,7
0 m 9,04
44 ! l i :
1 0 1 2 3 4 5 6

Sivu 2/4
COMPSSGN.100 Signaalinkäsittelyn perusteet 28.3.2023

 

 

 

 

 

Taulukot
: : Impulssivaste kun
Suodintyyppi T7Ö n=0
Alipäästö 2f,sinc(m -2nf,) 24,
Ylipäästö —2fcsinc(n -2nf,) 1-24

Kaistanpäästö | 2f;sinc(n - 2mf2) — 2fisinc(n -2nf;) 2(70 —f1)
Kaistanesto 2fisinc(n -2mf,) — 2f7sinc(n -2mf,) | 1—2(10 — f1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ikkuna- Siirtymäkaistan | Päästökaistan | Estokaistan Ikkunan lauseke

funktion leveys värähtely minimi- w(n), kun

nimi (normalisoitu) | (dB) vaimennus (dB) | |n| < (N — 1)/2

Suorakulmainen | 0.9/N 0.7416 21 1

Bartlett 3.05/N 0.4752 25 1—

Hanning 3.1/N 0.0546 44 0540.5cos (57)

Hamming 3.3/N 0.0194 53 0.54 + 0.46 cos (2)

Blackman 5.5/N 0.0017 74 0.42 40.5 cos (T")
+0.08 cos (12*.)

 

 

 

 

 

 

 

 

Joitakin mahdollisesti hyödyllisiä Wikipedia-sivuja

 

Suppose two classes of observalions have means fi, , ji, and covariances Yo, Yy Then the linear combination of features % « % will
have means + R; and variances 5,0 for i = 0,1. Fisher defined the separation between these two distributions to be the ratio
of ihe variance between the classes to the variance within ine classes:

Tieteen — (Wei — B-fio)? — (2: (1 — 8)?
Timm — VY+TD T(5+M)5
This measure is, in some sense, a measure of the signal-to-noise ratio for the class labelling. It can be shown that the maximum
separation occurs when : N
a & (20 + 21) (Fi — Fo)

When the assumptions of LDA are satisfied, ihe above eguation is eguivalent to LDA.
Be sure to note that the vector 1 is the normal to the discriminant hyperplane. As an example, in a two dimensional problem, the line
that best divides the two groups is perpendicular to i.

Generally, the data points to be discriminated are projected onto 10; then the threshold that best separates the data is chosen from
analysis of the one-dimensional distribution. There is no general rule for the threshold. However, if projections of points from both
classes exhibit approximately the same distributions, a good choice would be the hyperplane between projections of the two means,
T- fin and W- fi, In this case the parameter c in threshold condition € + % > c can be found explicitiy:

s 1 a 1 ur 10
c=ä- 3 +1) = 3äTä! R — 3 ja ig-

 

 

Inversion of 2 x 2 matrices [edit]

The cofactor eguation listed above ylelds the following result for 2 x 2 matrices. Inversion of these matrices can be done as follows:

aaofa 0] 701 24] 1 [4
le a det A a] ad=tel-e al

 

 

 

 

Sivu 3/4
COMPSSGN.100 Signaalinkäsittelyn perusteet 28.3.2023

 

A more condensed form of the difference eduation is:

1 P 2
yln] = ww (2 dia[n — 1] — Yj ajyln — D)
i ja

which, when rearranged, becomes:

o P
5 ajyln — 3] = Y dien — 1]

j=0 i=0

To find the transfer function of the filter, we first take the Z-transform of each side of the above eguation, where we use the time-shift
property to obtain:

o - P -
Yr 62 5Yl2) = Yo biz *X(z)
j=0 1=0

We define the transfer function to be:

 

 

Considering that in most IIR filter designs coefficient ag is 1, the IIR filter transfer function takes the more traditional form:
Yh ndiz"i

H(z) = "5
1+ S, ajzi

 

 

Technigues jedit]

Conceptual approaches to sample-rate conversion include: converting to an analog continuous signal then re-sampling at the new
rate, or calculating the values of the new samples directly from the old samples. The latter approach is more satisfactory. since it
introduces less noise and distortion! Two possible implementation methods are as follows:
1. If the ratio of the two sample rates is (or can be approximated by)!" 116] a fixed rational number £/M: generate an intermediate
signal by inserting L — 1 Os between each of the original samples. Low-pass filter this signal at half of the lower of the two rates.
Select every A-th sample from the filtered output, to obtain the result (5
2. Treat the samples as geometric points and create any needed new points by interpolation. Choosing an interpolation method is
a trade-off between implementation complexity and conversion guality (according to application reguirements). Commonly used
are: ZOH (for film/video frames), cubic (for image processing) and windowed sinc function (for audio).

 

 

 

 

Kaavoja

 

b2— 4ac
2a

 

ad + bx +c=0&x=

X(n) = Xo(n) + wy"Xi(n), kun n =0,1,2,...,N/2—1
X(n) = Xon — N/2) + wy"X1(n— N/2), kunn =N/2,N/2+1,...,N—1

Sivu 4/4