Tentin tekstisisältö

COMP:SGN.100 Signaalinkäsittelyn perusteet 13.12.2021

 

 

COMP.SGN.100 Signaalinkäsittelyn perusteet,
Tentti, 13.12.2021,
Sari Peltonen

 

 

e Oma laskin sallittu.
e Tenttikysymyksiä ei tarvitse palauttaa.

1. (a) Analoginen signaali koostuu kahdesta siniaallosta, joiden taajuudet ovat 8316 ja
13806 Hz. Signaalista otetaan näytteitä -155 sekunnin välein.
i. Mikä on Nyguistin rajataajuus? (1p)
ii. Miksi taajuuksiksi mainitut kaksi sinitaajuutta tulkitaan näytteistämisen jälkeen?
(2p)
(b) Laske vektorin x(n) = [—2, 5, —4,3]" diskreetti Fourier-muunnos. (3P)

2. Signaalin x(n) näytteenottotaajuus on 25 kHz. Se muunnetaan signaaliksi, jonka näytteen-
ottotaajuus on 15 kHz. Signaalin olennaisin informaatio on taajuuskaistalla 0 — 3 KHZ, jo-
ka tulee säilyttää sellaisenaan ilman vaimennusta. Piirrä lohkokaavio järjestelmästä, joka
suorittaa muunnoksen. Anna tarvittavien alipäästösuodinten päästö-, esto- ja siirtymä-

kaistat normalisoituina taajuuksina. (6p)
3. Oletetaan, että kausaalisen LTI-järjestelmän heräte x(n) ja vaste y(n) toteuttavat seuraa-
van differenssiyhtälön:

E, +
Ha] =T

missä vakiot a,b € R, a % 0jab + 0.
(a) Määritä herätteen x(n) ja vasteen Y(n) välinen differenssiyhtälö. (2p)
(b) Millä vakioiden a ja b arvoilla järjestelmä on stabiili? (2p)
(e) Piirrä napa-nollakuvio tapauksessa a = 7 jab = EN (2p)
4. Suunnittele ikkunamenetelmällä suodin (selvitä käsin impulssivasteen lauseke), jonka

vaatimukset ovat seuraavat:

Päästökaista [2.5 kHz, 6 kHz]
Estokaista [0 kHz, 2 kHz]
Päästökaistan maksimivärähtely 0.5 dB
Estokaistan minimivaimennus 23 dB

12 kHz

Näytteenottotaajuus

Käytä oheisia taulukoita hyväksesi. (6p)

Sivu 1/4
13.12.2021

  
   
  
  
 
   

COMPSGN.100 Signaalinkäsittelyn perusteet

5. (a) Suunniteltaessa Fisherin lineaarista erottelijaa (LDA) alla olevan kuvan datalle saa
daan luokkien kovarianssimatriiseiksi: ji

10/0 jae = 1/1 j.
ani(n 2) a=3(i D) A

Mikä on vektori w tälle LDA-luokittelijalle? (Huomaa, että pelkkä v.
Kirjoita myös tarvittavat laskutoimitukset ja käännä matriisi käsin oh

muistisäännöllä.) (3P)

 

 
COMP:SGN.100 Signaalinkäsittelyn perusteet

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.12.2021

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Taulukot
i X Impulssivaste kun

Suodintyyppi -, 20 =0

Alipäästö 2fesine(n -27fe) 2fc

Ylipäästö —2£sinc(n - 27f) 1—2£

Kaistanpäästö | 2fasinc(n -2rf,) — 2fisine(n -2mf,) | 2(f2—fi)

Kaistanesto — | 2fisince(n -2nf,) — 2f2sine(n - 27f,) | 1—2(f2—f1)
Ikkuna- Siirtymäkaistan | Päästökaistan | "Estokaistan Ikkunan lauseke
funktion leveys värähtely minimi- w(n), kun
nimi (normalisoitu) | (dB) vaimennus (dB) | |n| < (N— 1)/2
Suorakulmainen | 0.9/N 0.7416 21 1
Bartlett 3.05/N 0.4752 25 -
Hanning 3.1/N 0.0546 44 0.5 + 0.5 cos (2)
Hamming 3.3/N 0.0194 53 0.54 + 0.46cos (2"*)
Blackman 5.5/N 0.0017 TA 0.42 + 0.5 cos (27)

+0.08 cos (177)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Joitakin mahdollisesti hyödyllisiä Wikipedia-sivuja
Suppose two classes of observations have means Fo , Jy and covariances Zo, 21. Then the linear combination of features W « Z will
have means 10 « fi; and variances ma2RT fori= 0,1. Fisher defined the separation between these two distribution to be the ratio
of the variance between the classes to the variance within the classes:
E Ea ES...
[ojia O Bi (5-1 —0-R) 3 (65 + (J, — 10)
Omin = TE U+028 (5 +)5

This measure is, in some sense, a measure of the signal-to-noise ratio for the class labelling. It can be shown that the maximum

 

separation occurs when

ja 1751 J

5 (Zo + 21) (1 — Fo)
When the assumptions of LDA are satisfied, the above eguation is eguivalent to LDA.
Be sure to note that the vector 4 is the normal to the discriminant hyperplane. As an example, in a two dimensional problem, the line
that best divides the two groups is perpendicular to 1.
Generally, the data points to be discriminated are projected onto 1; then the threshold that best separates the data is chosen from
analysis of the one-dimensiona distribution. There is no general rule for the threshold. However, if projections of points from both
classes exhibit approximately the same distributions, a good choice would be the hyperplane between projections of the two means,
5 «fi, and W fi, . In this case the parameter c in threshold condition 1 - 3 > c can be found explicitly:

1 IT 1 1
c=: 5 (+) = 5ht 2 M — 3h0 20 Ro-

 

 

 

Inversion of 2 x 2 matrices [edit]

The cofactor eguation listed above ylelds the following result 10r 2 x 2 matrices. Inversion of these matrices can be done as follows:I5

ao [a 5] = [ 3 ]-aal
—|[c a] — detA|—c al ad—bel=e a

 

 

 

 

Sivu 3/4
COMPSGN.100 Signaalinkäsittelyn perusteet 13.12.2021

condensed form of the difference eguation js

A mon

 

 

ing that in most IIR filter designs coefficient ao is 1, the IIR filter transfer function takes the more traditional form:

 

 

| TR Yaizo biz Zi E
| onn J |
1+D9, ajzdi f A
Technigues [edit]

 

Conceptual approaches to sample-rate conversion include: converting to an analog continuous signal, then re-sampling at the new
rate, or calculating the values of the new samples directly from the same. The latter approach is more satisfactory, since it
introduces less noise and distortion [1 Two possible implementation methods are as follows:
1. If the ratio of the two sample rates is (or can be approximated by)!" 1114] a fixed rational number L/M: generate an intermediate
signal by inserting £ — 1 Os between each of the original samples. Low-pass fiiter this signal at half of the lower of the two rates.
Select every M-th sample from the filtered output. to obtain the result.f5I
2. Treat the samples as geometric points and create any needed new points by interpolation. Choosing an interpolation method is
a trade-off between implementation complexity and conversion guality (according to application reguirements). Commonly used

are: ZOH (for film/video frames), cubic (for image processing) and windowed sinc function (for audio).

 

Kaavoja

2 —b+y/b?—4ac
ax" +b — =
X +EC=0 Lä Ja

 

 

Pasin 1 = 623066, N/2=1

X(n) = Xo(n) + wa"Xi(m),
Kun t N/25N 724 MNT e

X(n) = Xo(n — N/2) +wy"Xi(n — N/2),

Sivu 4/4