Exam text content

 

MAT-60150 Differentiaaliyhtälöt /Orelma
1. Välikoe 21.2.2014

Kirjoita jokaiseen konseptiin nimesi ja opiskelijanumerosi. Tee tehtävät siististi konsepteille väli-
vaiheet perustellen. Ei laskinta eikä muistiinpanoja.

Kokeessa saa olla mukana yksi kaksipuolinen A4 käsin kirjoitettu muistilappu.
= 07
= [n 0);

(a) Etsi matriisi P ja diagonaalimatriisi D siten, että

1. Tarkastellaan matriisia

missä f % 0.

 

A= PDP".
(b) Määritä (a)-kohdan avulla eksponenttimatriisi e”.
(c) Jos
tp?
x(0) — e [o]
on matriisiyhtälön x' = Ax, x(0) = c ratkaisu, mikä on se alkuarvo-ongelma, jota tämä
ratkaisu vastaa ja mikä on sen ratkaisu?
« 2. Olkoon
1-1 1 3
1 .+—-—-
= 0 90: >.
0032
jolloin
101 0] [e*cos(t) -esin(t) ' 0 0 10 01—
ja = |0 10 0] |e'sin(t) et cos(t) 0 0 01 00
SA =
0010 0 0 e cos(3t) — &*sin(3t) | |0 0 1 0
050 041 0 0 = '—e&sin(3t) e*cos(3t)| |0 0 0 1
et cos(t) —e'sin(t) —& cos(t) + &* cos(3t) &*sin(3t)
e sin(t) —e*cos(t) —e! sin(t) 0
= 0 0 e? cos(3t) e?* sin(3t)
0 0 —e sin(3t) e cos(31)

Tämän avulla:

(a) Määritä matriisin A ominaisarvot ja -vektorit.

(b) Määritä sellainen lohkodiagonaalimatriisi D ja matriisi P = [vi vo va vaj, että
D=P"AP.

(€) Jos muunnosmatriisiksi vaihdetaan O = [v3 va vi va], niin mikä on tällöin lohkodia-

gonaalimatriisi D' jolle
D'=0"'40?