Exam text content

 

 

 

 

L Mak

« 44) MAT-20451 Fourier'n menetelmät
Tentti 6.3.2013 / Merja Laaksonen

 

 

- Ei muistiinpanoja, kirjallisuutta, laskinta
« Kirjoita konsepteihin FM, nimesi ja numerosi
- Piirrä pääkonseptiin nimen alle peräkkäin neljä neliötä a? 2 x 2.

 

 

 

 

 

1. Funktio / on määritelty yhtälöillä

1, kun-—T<t<0,
ft) =
10 0, Kun 0<r<m n

FOn +) =C).

Laske määritelmän mukaisesti sille trigonometrinen Fourier-sarja.

2. Suoran pätkä y = 1+1,t € (0,1) jatketaan parittomaksi funktioksi r. Piirrä
kuva. Sen Fourier-sarja on ?.
a) Onko ? sinisarja, kosiniisarja vai ei kumpaakaan? Miksi?
b) Syntyykö Gibssin ilmiötä? Jos syntyy, niin missä kohdissa?
€) Minkä suorien y = a ja y = b,a,b € R väliin ? mahtuu? Kyseessä on
likiarvot, jotka eivät saa olla liian pieniä eikä turhan suuria.

3. Laske signaalin f : f(f) = mtn +1+ ye keskimääräinen teho
a) sarjan summana,
b) määrättynä integraalina.

4. Laske Fourier-muunnos funktiolle
f: G) = cos(1) (116 + 7) — HG - m)).

Sievennä tulos.
1

 

 

Kaavakokoelma tentissä 6.3.2013

cos (x + y) = cos (x) cos (y) — sin (x) sin (y), — sin (x+y) = sin (x) cos (y) + cos (x) sin (y),

sin (x) cos (p) = 5(sme- 2) in (++). 003 (2) 008 (3) = 5 ( 008 (*—9) +005 (x+9)).

1

sin (x) sin (y) = i(00s (x—y) — cos(x + »):

o o oo
= )=3+ x (an cos (nor) + b, sin (nor) ) = Yue” = 09+Y2e,| cos (nor + 61)

1==00 N
nn
J d+T An
an = 3]. F(t) cos (not) dt, n =0,1,2,3,..
d4T
e E F(0)sin (nor), = n=1,2,3,..
T Ja
d+T
Gr en 3). P)e!n dt, n = 0 +213, ..

 

 

J a? + b?
1[ P0a- > jf-3.54*

[= n=1

N 4 VY

S L No N Gy 2 Cen Ra 10) 1,2... GN =I!

FIY0) = F() = L ; S0)e tau, FUT0-S0) = A ä F(u)e/w" do.

0) 0) = F(2). 4, 17010) = jo(a)
FFC) (0) = € '*oP(o), 2 (e 7(1)) (v) = F(w-2)
A+ D0&) = F(0)G(0), Fs) (2) = 370» GX)

FH) (0) = F[F()] (0) = 277(— 0).

i
[ Plan = 5 [ |r) do

P(o)=k D S (kh)e-joki, [a] = (haali.

k=00