Exam text content

 

MAT-02500 Todennäköisyyslaskenta
Tentti 12.10.2015 / Kimmo Vattulainen

e Vastaa jokainen tehtävä eri konseptille.
e Funktiolaskin sallittu.
e Palauta kaavakokoelma

 

1. a) Jos saman otosavaruuden riippumattomien tapahtumien A ja B todennäköisyydet
ovat P(A) = 0.4 ja P(B) = 0.7, niin mitä on P(AUB).

b) Jos riippumattomat kokonaisluvut a ja b valitaan nopanheitolla, niin millä todennäköisyy-
dellä a +b > ab.

€) Jos kulhossa on 2 valkoista ja 4 mustaa. palloa ja näistä otetaan satunnaisesti palautta-
matta 3 palloa, niin millä todennäköisyydellä ne ovat kaikki mustia.

d) Jos jatkuvan satunnaismuuttujan X otosavaruus 9 = [a,0] ja kertymäfunktio

F(z) =2—2?, x € D, niin mitä ovat luvut a ja b.

€) Jos X » N(p,0?), niin mitä on E(X? — X).

f) Jos X  Poi(1), niin mitä on P(X > J).

2. Henkilö löhtee töihin klo 7.00. Ensin hän kävelee 2 km bussipysäkille, josta lähtee bus-
si 1 työpaikalle klo 7.20. Bussi 2 lähtee klo 7.30. Olkoon X ="yhden kilometrin kävelyai-
ka (minuuttia)", Y; ="bussin 1 matka-aika pysäkiltä töihin (minuuttia)" ja Y» ="bussin 2
matka-aika pysäkiltä töihin (minuuttia)". Nämä noudattavat jakaumia

X= N,1), Fu) = A 1 € = [35,45], Ya v Tas(27,32)

Millä todennäköisyydellä hän ehtii klo 8.00 mennessä töihin?

3. Talossa on järjestelmä, joka asukkaiden poissa ollessa sytyttää ja sammuttaa valot sa-
tunnaisesti kerran tunnissa. Olkoon X aika, jolloin valot sytytetään ja Y aika, jolloin ne
sammutetaan (yksikkönä tunti). Ajat lasketaan joka tunnin alusta. Systeemi on suunniteltu
niin, että (X, Y) noudattaa jakaumaa, jonka tiheysfunktio on

f(z,y) = 8zy, 0O<x<y<1

Laske ehdollinen todennäköisyys, että valot sammuvat vasta viimeisen 15 minuutin aikana,
jos ne palavat vähintään puoli tuntia?

4. Opettaja tietää kokemuksesta, että 25% tenttiin ilmoittautuneista opiskelijoista ei saavu
paikalle. Tenttiin on ilmoittautunut 220 opiskelijaa. Laske normaaliapproksimaatiota käyt-
täen kuinka suuri sali tarvitaan, että kaikki paikalle tulevat saavat 99% :n todennäköisyydellä
istumapaikan.