Exam text content

Alli hton (/ shdomt. K &

MAT-02400 Vektorianalyysi / Hirvonen
Tentti 20.05.2015
Ei laskimia tai kirjallista materiaalia. Kaavakokoelma kääntöpuolella.

Missään tehtävässä pelkän lopputuloksen esittäminen ei riitä, vaan vastauspaperin tulee
sisältää päättely, jolla lopputulokseen päädytään.

1. Laske funktion f (z,y, 2) = 2+2 pintaintegraali läpi sylinteripinnan g? +y? =9 sen osan,
jolla y < O, ja jota rajoittavat ry-taso ja taso 2 = 4.

2. Laske kentän F (z,y,z) = (134, y7?, 12) vuo kohti origoa läpi origokeskisen yksikköpal-
lopinnan.

3. Laske funktion f (x,y) = zy* + y käyräintegraali yli käyrän 2? + y? = 4, jossa x < 0,
kuljettuna alhaalta ylöspäin.

4. Laske työ, jonka kenttä F (z,y, z) = (27 + yz, 77, xy) tekee, kun massapiste siirtyy ken-
tässä ensin pitkin janaa pisteestä (0, 1,2) pisteeseen (1,2, —1) ja sieltä pitkin janaa ori-
goon.
 

 

10.

MAT-02400 Vektorianalyysi, tentin kaavaliite

r = (2,4,2), r=|[lrll=va2+7+2, Vr=", Ver=3

 

 

- V(f9=(Vf)9+fVg

V-(fG) = (Vf)-G+7F(V-G)
V x (fG)=(Vf) x G+7F(Vx G)
VIh(F(e))] = F(f() Vr)

g za=[, (2-5) dz dy
5 $. F* äs |), V-Fdxdy
- Jo F:nd$ = /[. V-FdV

i f Fear || (V xF)-ndS
os s

x = psin doosd
y=psingsin09 => dzxdydz= p? sin  dp db dO
z=pcosp

N (6,0) = a? sin 6 (sin cosO, sin dsin 0, cos 4), |N(4,9)]| = a?sin g

. Massa ja massakeskipiste. Käyrälle C:

m= | 5as 2=— | sän 37 |, v04s 2= | 26äs.
C m Jo m Jo m Jo

Pinnalle $:

m= || sas. 3=" || 26as, 3= |], voa, 2=" | 2648.
s m JJs m JIs m JIs

1— cos(2t) = 1-4 cos(2t)

sin(2t) = 2sintcost, sin? t = 2 a a