Exam text content

Voinka a

MAT-01410 Insinöörimatematiikka A4 (kevät 2015) / Mattila
Tentti 18.5.2015

Vastaa kaikkien neljän kysymyksen kaikkiin kohtiin. Tehtävät eivät ole vai-
keusjärjestyksessä. Kokeessa ei saa käyttää laskimia tai taulukoita. Myöskään
erillistä kaavakokoelmaa. ei ole, vaan vaikeasti muistettavat relevantit kaavat
on annettu tehtävänantojen yhteydessä. Tehtäväpaperia ei tarvitse palauttaa.
Tehtävien ratkaisut löytyvät kokeen jälkeen kurssin Moodle-alueelta. Muis-
tathan antaa opintojaksosta palautetta Kaiku-järjestelmän kautta saadaksesi
opintosuorituksen.

1. Tarkastellaan kahden muuttujan funktiota

Va- v
fa) ==.
VETY
(a) Mikä on funktion f (laajin mahdollinen) määrittelyjoukko M;?
(1p)
(b) Määritä tasa-arvokäyrät f*(0) = ((z,y) € M;| f(z,y) = 0) ja
FSD = ((x,y) € My| f(z,y) = 1). (1P)
(G) Määritä raise ia ; ;
(e) Määritä raja-arvot n = f(05v) ja n
että raja-arvoa ei ole olemassa. (2p)

J(v;7) tai osoita,

(d) Määritä funktion f ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat. (2p)

2. Maanomistaja omistaa kolmion muotoisen tontin, jonka kärjet ovat pis-
teissä (0,0), (3,0) ja (0,3). Alueen pinnan korkeus pisteessä (z, y) saa-
daan funktiosta

1
h(z,y) = 0 —27—44+5),

missä yksi pituusyksikkö vastaa yhtä kilometriä.
(a) Omistaja aikoo porata kaivon tonttinsa matalimpaan kohtaan ja
rakentaa näköalatasanteen tontin korkeimpaan kohtaan. Määritä
näiden pisteiden x- ja y-koordinaatit. (4p)

(b) Omistaja seisoo tontin pisteessä (1, 1). Mihin suuntaan rinne nousee
jyrkimmin? Kuinka jyrkästi? (2p)

1 1
J J 20 avan (3P)

3. (a) Määritä integraali
 

4.

(a)
(b)

Ohjeita: Integroimisjärjestys saattaa olla järkevää vaihtaa. Kiin-
nitä huomiota integroimisrajoihin, piirrä myös kuva integroimisa-
lueesta.

Määritä integroimalla napakoordinaatteja apuna käyttäen sellai
sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat yläpuolelta parabloidi z =
1— (1? + 7?) ja alapuolelta zy-taso. (3p)

Ohjeita: Määritä ensin parabloidin ja zy-tason leikkauskäyrä. Pa-
rametrisoi sitten käyrän sisään jäävä joukko R napakoordinaatteja
käyttäen ja laske tilavuus kaavalla

B pr2(0)
JI jamden | i F(r cos0,r sin 0)r dr do.
R a Jri0)

1 2 pr
Laske ; J ; (x +22) dz dz dy. (3p)
o J1 Jo

Määritä integraali

1 /V1-3? p1/1—22—3? :
df j 4 (2? + y? + 22)5 dz dy dx
0 Jo o N

pallokoordinaatteja apuna käyttäen. (3p)

Ohjeita: Hahmottele ensin integroimisalue T' karteesisessa koordi-
naatistossa ja määritä sen jälkeen alueen rajat pallokoordinaatis-
tossa. Muista, että p = 1/1? + y? + 2? ja käytä kaavaa

J x Hm, y,2) dV

= J F(psin d cos, psin psin O, p cos Pp? sin 6 dp do do.
v