Exam text content

 

peimaä, hyveen (0 ciudean.

 

 

Tf
MAT-01200 Insinöörimatematiikka X2
Tentti 19.5.2015 / Merja Laaksonen

 

 

 

 

 

- Ei muistiinpanoja, kirjallisuutta, laskinta

1 a) Olkoonu=[+-1,2,1]7 ja v = [2,3,—1]7. Laske
|lu— vl|], uxv, —proju.

b) Määritä yhtälö muodossa ax + by + cz + d = 0 sellaiselle tasolle, että piste (1,2, 1) sekä
kaikki suoran x = [1,1,—2] + t[1,1,—1] pisteet ovat tason pisteitä.

2. — Matriisit

ja B=

O oN wn
I
mEoOvwW
kansan Men]
o 100
W 0 R
O A =O
JA U PR —

0

Määritä a) matriisin A alkio (2,4), b) matriisin Bf alkio (2,3), =) matriisin A + B alkio
(3,3), ad) matriisin AB alkio (4,3), e) det(4), f) matriisin 4"! alkio (1,3).

3. Matriisi
3.1 926
042207
= 000-250
0000 0

1. Ovatko matriisin A sarakkeet lineaarisesti riippuvat vai riippumattomat? Perustele!

2. Matriisin A sarakkeet a; virittävät joukon W. Mitkä sarakkeet voidaan jättää pois virittäjien
joukosta ilman, että joukko W muuttuu? Jätä mahdollisimman monta pois.

3. Mikä on matriisin A nolla-avaruuden kanta?

4. — Olkoot
1 7 —2 0 2 1 —2
a-=.| 2 =>; a l|,vv=| 2|javs=| 2
0 25 2 —2 1
Matriisin A ominaisarvot ovat 1/3, 2/3 ja 1 ja ominaisvektorit ovat v1, vo ja va. Mikä ominaisarvoista

vastaa kutakin ominaisvektoria? Matriisi A on selvästi diagonalisoituva. Määritä sellainen ortogonaa-
linen matriisi O ja diagonaalimatriisi D, että A = ODO".

 

Tentissä saattaa olla apua seuraavista (tai sitten ei)

 

 

VI 1, ; JAL o PAI
== Gk [k Iv?

R =(A14)'A7b