Exam text content

Sana Uosric $22a 4 kosyio Ostdut t k;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vastaa jokaiseen kysymykseen ja perustele vastauksesi huolellisesti! Tentissä ei saa käyttää muistiinpa-
noja, kirjallisuutta eikä laskinta.

Ratkaise tehtävät 1 ja 2 omalle paperilleen ja tehtävät 3 ja 4 omalle paperilleen. Kirjoita kaikkiin
papereihin selkeästi nimesi, opiskelijanumerosi. Lisäksi jätä etusivulle ja marginaaleihin tilaa tarkastajan
merkintöjä varten.

Kaavaliite on tehtäväpaperin toisella puolella

Ya
x (2 pistettä) Osoita logiikan laskusääntöjä käyttäen +(>p Vg) V-(-pV 9) =
K (e pistettä) Laske raja-arvo lim E"
(8 (2 pistettä) Laske funktion f(z) = sin?(z) cos(z) se integraalifunktio F, jolle
PG) =2.

 

va &$ (3 pistettä) Olkoon z1 = 4efi ja 2» = 34/35 Laske 21 + 2.
a 0 (3 pistettä) Millä muuttujan x € R arvoilla 5 cosh(zr) + 3sinh(z) =

& Tarkastellaan reaalifunktiota f : (0,00) > (0,00), f(z) = 2/7.

a (2 pistettä) Osoita derivaatan määritelmää käyttäen eli laskemalla erotusosa-

i
määrän raja-arvo, että f'(z) = =
(2 pistettä) Onko f bijektio. Perustele.

(oy (2 pistettä) Käänteisfunktion derivointisääntöä käyttäen laske ( J G ), kun
tiedetään, että AC = X

ee 4. 2 pistettä) Olkoon 2 = = $ - ad Laske 2? ja anna vastauksesi muodossa
T +.

« (4 pistettä) Kompleksiluku 2 voidaan esittää muodossa 2 = wg, missä wo =
1+1/3j. Ratkaise kompleksiluvun z kaikki neljännet juuret.

E

Lisävinkki sinh(z) = 5

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Derivointi- ja integrointikaavoja

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x) 0)
a? a” lna
1
08. tlna
arcsin x :
v1-2?
ArCcos x a
1
arctan x 1322
arsinh x :
in]
vV1+2z?
arcosh x :
vVa2-1 -
JE jani 7 o. , =
ar T =
da 1 =
2 0-3 (== G) &y=7"(2))
7/0)

3. sin(0 + $) = sin 0cos/ + cos Osin $
cos(0 + &) = cos cos p — sin Osin &

4. cosh?(x) — sinh?(z) = 1

5. e = cos0+4 jsino