Exam text content

COMPSGN. 100 Signaalinkäsittelyn perusteet 16.2.2023

 

COMPSSGN.100 Signaalinkäsittelyn perusteet,
Tentti, 16.2.2023,
Sari Peltonen

 

* Omalaskin sallittu.
* Tenttikysymyksiä ei tarvitse palauttaa.

1 (a) Analoginen signaali koostuu neljästä siniaallosta, joiden taajuudet ovat 10, 40, 60 ja
110 Hz. Signaalista otetaan näytteitä T = 16 sekunnin välein.
i. Mikä on Nyguistin rajataajuus? (1p)
ii. Miksi taajuuksiksi mainitut neljä sinitaajuutta tulkitaan näytteistämisen jälkeen?
(2p)

(b) Signaalin näytteenottotaajuus on 1350 Hz ja se halutaan tallentaa laitteelle, jonka
näytteenottotaajuus on 50 Hz. Desimointi halutaan toteuttaa mahdollisimman tehok-
kaasti, joten usean vaiheen toteutukset on tutkittava. Piirrä mahdollisten toteutusten
lohkokaaviot. (3p)

2. Tarkastellaan alla olevan lohkokaavion esittämää kausaalista LTI-järjestelmää:

x(n) ym)

00
fo 6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 41
- 2 2
z z!
[> 1
2 8

(a) Määritä järjestelmän siirtofunktio H(z). (2p)
(b) Piirrä järjestelmän napa-nollakuvio. (2p)
(c) Onko järjestelmä stabiili? Miksi / miksi ei? (2p)

3. (a) Signaali x(n) ja impulssivaste h(n) ovat seuraavat:

x(n) = —28(n) — öä(n — 1) +35(n — 2),
h(n) = (n +1)—6(n).

Piirrä signaalit x(n) ja h(n). Laske signaali y(n) = h(n) « x(n) ja piirrä se. (3p)

Sivu 1/4
|
|
|
|
|
E
|

 

 

COMPSGN.100 Signaalinkäsittelyn perusteet 16.2.2023

(b) LTI järjestelmä (siirtofunktio H(z)) on minimivaiheinen, jos
* järjestelmä on stabiili ja
* sillä on käänteisjärjestelmä (siirtofunktio ay). joka on myös stabiili.
Molemmat järjestelmät oletetaan kausaalisiksi. Onko järjestelmä
(2? —1.2)(2? — 0.9)
1 240.1252
minimivaiheinen? Perustele vastauksesi. (3p)

H(z) =

4. Suunnittele ikkunamenetelmällä suodin (selvitä käsin impulssivasteen lauseke), jonka
vaatimukset ovat seuraavat:

Päästökaista [10 kHz, 15 kHz]
Estokaista [0 kHz,5 kHz]
Päästökaistan maksimivärähtely 0.5 dB
Estokaistan minimivaimennus 50 dB
Näytteenottotaajuus 30 kHz

Käytä oheisia taulukoita hyväksesi. (6p)

5. (a) Suunniteltaessa Fisherin lineaarista erottelijaa (LDA) alla olevan kuvan datalle saa-
daan luokkien kovarianssimatriiseiksi:

1/1 —1 1/1 1
es5(1 2) a=3(i 3)-
Mikä on vektori w tälle LDA-luokittelijalle? (Huomaa, että pelkkä vastaus ei riitä.

Kirjoita myös tarvittavat laskutoimitukset ja käännä matriisi käsin ohessa olevalla
muistisäännöllä.) (3p)

 

 

 

1 T T a -r
« Luokka1
» Luokka?
0 x 4
-1 x u
2 x u n" 4
3 x u
-4 2 -— 1 4 4
-3 -2 -1 0 1 2 3

(b) Kopioi (a)-kohdan kuva ja piirrä siihen 1-NN (lähimmän naapurin) luokittelijan luok-
karaja kuvassa näkyvälle alueelle. (3p)

Sivu 2/4
COMP:SGN.100 Signaalinkäsittelyn perusteet 16.2.2023

 

 

 

 

  

 

Taulukot
N ; Impulssivaste kun
Suodintyyppi n 70 —=3
Alipäästö 2fcsinc(n -2nf,) 21;
Ylipäästö —2fcsinc(n -2nf,) 1—2f1
Kaistanpäästö | 2f,sinc(n - 27f2) — 2fisince(n -2mf;) 2(12 —f)
Kaistanesto 2fisinc(n - 27f,) — 2fzsinc(n - 27f2) | 1—2(12 —f4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ikkuna- Siirtymäkaistan | Päästökaistan | Estokaistan Ikkunan lauseke

funktion leveys värähtely minimi- w(n), kun

nimi (normalisoitu) | (dB) vaimennus (dB) | |n| < (N —1)/2

Suorakulmainen | 0.9/N 0.7416 21 1

Bartlett 3.05/N 0.4752 25 1— 27

Hanning 3.1/N 0.0546 44 0.5 40.5 cos (20)

Hamming 3.3/N 0.0194 53 0.54 + 0.46 cos (21

Blackman 5,5/N 0.0017 74 0.42 40.5 cos (3"")
+0.08 cos (1)

 

 

 

 

 

 

Joitakin mahdollisesti hyödyllisiä Wikipedia-sivuja

 

Suppose two classes of observations have means fi, ji, and covariances Yl, Yy). Then the linear combination of features 4 « % will
have means i « ji, and variances TY: fori=0,1. Fisher defined the separation between these two distributions to be the ratio
of ihe variance between the classes to the variance within the classes:
2 o n n o n
S= Ohetween = (Wh — Df)? - (8 (Fi — 10)?
Omin = GO OHVDE G +5)0

This measure is, in some sense, a measure of the signal-to-noise ratio for the class labelling. It can be shown that the maximum
separation occurs when

TB & (Do + 21) (fy — Äiy)
When the assumptions of LDA are satisfied, the above eguation is eguivalent to LDA.

Be sure to note that tne vector t% is the normal to the discriminant hyperplane. As an example, in a wo dimensional problem, the line
that best divides the two groups is perpendicular to W.

Generally, the data points to be discriminated are projected onto 1; then the threshold that best separates ihe data is chosen from
analysis of the one-dimensional distribution. There is no general rule for the threshold. However, if projections of points from both
classes exhibit approximately the same distributions, a good choice would be the hyperplane between projections of the two means,
G + [fy and W - fi, In tnis case the parameter c in threshold condition % - % > c can be found explicitiy:

a Diiva 1urna: 1um517
c= 3 (lla + R) = 5M1 Dfi — ho Dy Po-

 

 

Inversion of 2 x 2 matrices [edit]

The cofactor eguation listed above yields the following result for 2 x 2 matrices. Inversion of these matrices can be done as follows:

a1=[2 0] - 1 [43] 1 [< 3]
lea) — detA|—-e a] ad-tel—-e al!

 

 

 

Sivu 3/4

 
 

 

COMPSGN.100 Signaalinkäsittelyn perusteet 16.2.2023

 

A more condensed form of the difference eguation is:

1 (2 2.
yln] = a (2 b;x[n — i] — > ajyln - 4)
is E

which, when rearranged, becomes:

[o P
5 ajyln — j] = Y iial]
1

j=0

To find the transfer function of the filter, we first take the Z-transform of each side of the above eguation, where we use the time-shift
property to obtain:

o

 

a;2 *Y(2) = Yhie Xle)
i=0

j=0
We define the transfer function to be:
Yl?)

H(z) =

 

X(z)
P N
= Zisobiz"
Xa az
Considering that in most IIR filter designs coefficient ag is 1, the IIR filter transfer function takes the more traditional form:
P N
Yiso bi"

H(z) =
1+ a aj

J

 

 

 

Technigues 1edi] MU
Conceptual approaches to sample-rate conversion include: converting to an analog continuous signal, then re-sampling at the new
rate, or calculating the values of the new samples directly from the old samples. The latter approach is more satisfactory, since it

introduces less noise and distortion !3! Two possible implementation methods are as follows:

1. 1f the ratio of the two sample rates is (or can be approximated by)!"b 111] a fixed rational number L/M: generate an intermediate
signal by inserting £ — 1 Os between each of the original samples. Low-pass filter this signal at half of the lower of the two rates.
Select every M-th sample from the filtered output, to obtain the result.(5

2 Treat the samples as geometric points and create any needed new points by interpolation. Choosing an interpolation method is
a trade-off between implementation complexity and conversion guality (according to application reguirements). Commonly used
are: ZOH (for filmyvideo frames), cubic (for image processing) and windowed sinc function (for audio).

 

 

 

 

 

Kaavoja
x + bx+c=0x=" b —4ae
2a
X(n) = Xoln) + wp"X1(m), kunn=0,1,2,...,N/2—1

X(m) = Xon — N/2) + wp"X1(n — N/2), kunn =N/2,N/2+1,...,N—1

Sivu 4/4