Exam text content

SMG-1200 — Piirianalyysi I
Tentti 11.5.2009 Risto Mikkonen

 

Järjestelmän sisäänmeno on käämin yli oleva jännite ja ulostulo käämin virta. Tarkastele jär-

jestelmän lineaarisuutta.

Erästä kemiallista tuotantoprosessia tarkastellaan diskreetein aikavälein. Prosessin kehittäjä
ilmoittaa, että systeemi on lineaarinen ja aikainvariantti. Mittauspöytäkirjasta ilmenee, että
systeemin sisäänmeno (1, -3, 2) on aiheuttanut ulostulon (1, -1, -4, 4). Prosessin analysoija
syöttää järjestelmään uuden sisäänmenon (1, 2, 3), jolloin hän mittaa systeemin ulostuloksi
(1,4,7, 53. Onko mittaustulos oikea? (Perustelut vaaditaan.)

Piirrä oheista tilaesitystä vastaava kytkentä, kun tilamuuttujina on kondensaattorin yli oleva
jännite ja käämin kautta kulkeva virta. Onko verkko ilman ohjausta stabiili? R=1 0,L=1
H C=05F,J=1A4

101 ,
[a]-[2 "el[a]:[)
X, 1 o |[* 0

L

 

Sähköpiirissä kondensaattorin omaavan haaran virraksi on muunnostasossa saatu

s? +35+1
I(s)=<—-
(9) 459 +25+6

Määritä aikatasossa kondensaattorin yli oleva jännite, kun aika rajatta kasvaa, ts.
i =?
Jne (=?

Kondensaattori on alkujaan varautunut, ts. xc (0) = 33.33 V. Kondensaattorin kapasitanssi C

= 0.001 F.

- KÄÄNNÄ!
O Oheisessa piirissä kytkin avataan ajanhetkellä / = 0, jota ennen piiri on ollut jatkuvuustilas-
sa. Määritä Laplace-i -muunnoksen avulla resistanssin R? yli oleva jännite 4(t), kun kytkin
avataan.

 

 
SMG-1200 — Piirianalyysi II
Tentti 20.3.2009 Risto Mikkonen

 

Laskimen käyttö sallittu.

1. Piirikomponentin sisäänmenona on virta i ja ulostulona jännite v, jolloin komponentin jänni-

te-virta -yhtälö on

v=V,+Ri

missä Vo ja R ovat vakioita. Tarkastele systeemin lineaarisuutta.

 

2. Tarkastellaan oheista kytkentää, jonka sisäänmenona on lähdejännite u(t) ja ulostulona kyt-
kennän virta i(t). Kun sisäänmenona on askelfunktio on ulostulo oheisen kuvan mukainen.
Käämin induktanssi L = 1 H. Mitoita resistanssi R. Määritä edelleen kytkennän virta, mikäli

sisäänmenona on ramppi, ts. u(t) = t.

okinnnnnnnnnnnnnnnnn

  

3. Epälineaarinen vastus R on kytketty rinnan 1 £2:n lineaarisen vastuksen kanssa. Näiden rin-
v

nalle'on edelleen kytketty 1 A:n virtalähde. Määritä epälineaarisen vastuksen yli oleva jänni-

-te, kun ko. vastuksen virran ja jännitteen välinen riippuvuus on I = (U) = U - VP. Aloita

iteraatio jännitteen U arvosta 2 V.

f

KÄÄNNÄ!
Diskreettiaikaista järjestelmää kuvaa ensimmäisen kertaluvun differenssiyhtälö
Ay +By,=4 k20

Määritä vakiot A ja B sekä systeemin alkuarvo yo, kun muunnostason ratkaisu on

3z+1

Ye0=2t"—
0-20-39

Mitä raja-arvoa yx lähestyy, kun diskreetti muuttuja k rajatta kasvaa?
Sähköpiirissä käämin yli olevaksi jännitteeksi on muunnostasossa saatu

; 489 +65+C

U, (s)=-—
(s+1)(s+2)(s+3)

Määritä lausekkeessa oleva vakio C siten, että aikatasossa käämin kautta kulkeva virta on 3

A, kun aika f rajatta kasvaa, ts.

lim i, ()=3A

13%

,

Virran alkuarvo 11 (0) = 1 A ja induktanssi L=2H.
SMG-1200 — Piirianalyysi II
Tentti 6.10.2008

 
 
 

 

Laskimen käyttö sallittu.

  

1. A) Järjestelmää kuvaava yhtälö sisäänmenon x(t) ja ulostulon y(t) välillä on

2
v0=|<to]
Onko yhtälö

a) homogeeninen

b) additiivinen

c) lineaarinen?

2. Lineaarista, diskreettiaikaista systeemiä kuvaa ensimmäisen kertaluvun differenssiyhtälö

Yki 3 =4

Ni

Määritä järjestelmän alkuehto yo, kun ulostulo diskreettinä ajanhetkenä k = 4 on 241.

3. Verkon tilaesitys on

Roo J 1
x 1, R, - x n
x, |= 0 - n T %2 |+ 0 le(r)
% 1 1 0 x | | 0
c c

Piirrä oheista tilaesitystä vastaava kytkentä. Onko verkko ilman ohjausta stabiili, kun Ri =
R,=10,1,=1)=1HjaC=025F.

KÄÄNNÄ!
SMG-1200 — Piirianalyysi II
Tentti 20.5.2008 Risto Mikkonen

 

Laskimen käyttö sallittu.
1. Kotimaisen sianlihan markkinoita, mikä vaihtelee viikottain, voidaan kuvata mallilla

) On =a+X

3
Ow =2+54

Pino Oa Oa)

 

Muodosta kilohinnalle P; differenssiyhtälö ja ratkaise se alkuarvolla Po = 10. Määritä edel-
leen vakio a siten, että hinta lähestyy arvoa 6 €/kg, kun diskreetti muuttuja & rajatta kasvaa.

2. Sarjaankytkettyyn RC-piiriin kytketään sisäänmenona jännitelähde ajanhetkellä £ = 0. Mää-
ritä systeemin impulssivaste, kun piirin ulostulona on kondensaattorin yli oleva jännite. Piiri
on alkujaan levossa (ts. kondensaattori on alkujaan varautumaton). Määritä löydetyn impuls-
sivasteen avulla piirin ulostulo, kun sisäänmeno (jännitelähde) y(t) =e' V.R=10,C=1F.

3. Verkon tilaesitys on
K, L i
x 1 D a] [7
%,|=] O RAN x, |+| O |e(r)
. 1, 1, .
X3 1 01 0 X3 0
c s

Piirrä oheista tilaesitystä vastaava kytkentä. Onko verkko ilman ohjausta stabiili, kun R; =
R7=10,1;=1;=1HjaC=025F.

KÄÄNNÄ!
Lineaarista, diskreettiaikaista systeemiä kuvaa ensimmäisen kertaluvun differenssiyhtälö
Yh 3) =

missä a on vakio. Mikä on järjestelmän alkuehto yo, kun ulostulo diskreettinä ajanhetkenä £
=3 on 79 ja ajanhetkenä £ = 4 ulostulo saa arvon 2417 Käytä Z-muunnosta.

Jännitelähde kytketään oheiseen piiriin ajanhetkellä + = 0. Muodosta piirille muunnostason
sijaiskytkentä ja määritä Laplace-muunnoksen avulla käämin yli oleva jännite V/(t). Piirin
alkuarvot ovat nollia. :

10 519]
— [-!

1v (2) 13F 1H) VO
SMG-1200 — Piirianalyysi II
Tentti 27.3.2008 Risto Mikkonen

 

1. Frään tuotantoprosessin analysoija on saanut prosessin ulostuloksi lukujonon (1, 4, 8, a),
kun sisäänmenona on ollut lukujono (1, 2, 4). Kun saman lineaarisen, aikainvariantin sys-
teemin sisäänmenona on lukujono £1, 3, 5), on mitattu ulostulo £1, 5, B, 103. Määritä alkiot
a ja PB.

2. Tarkastellaan oheista kytkentää, jonka sisäänmenona on lähdejännite x(t) ja ulostulona kyt-
kennän virta i(t). Kun sisäänmenona on askelfunktio, on ulostulo oheisen kuvan mukainen.
Käämin induktanssi L = 1 H. Mitoita resistanssi R. Määritä edelleen kytkennän virta, mikäli
sisäänmenona on ramppi, ts. 4(t) = t.

 

3. Diskreettiaikaisen järjestelmän Z-siirtofunktio

a
H(z)=-—
(2) 1-6z

Kun systeemin sisäänmeno on askel, ts. 4. = 1, k > 0, niin ulostulo yv = 1 ja yv > 2, kun k>
«. Määritä vakiot a ja b.

4. Määritä Laplace-muunnosta hyödyntäen oheisessa piirissä jännite v(t), kun ? > 0. Jännitteen
alkuarvo v(0) = 10 V. ANDEL 1

  

109

 
  

e! cos 21 VY (*)
5. Laplace-muunnetussa piirissä käämin kautta kulkevan virran muunnostason ratkaisuksi on
saatu
0.25+1
I(s)=-—
(5) s?+45+1

Määritä käämin yli oleva jännite ajanhetkellä ? = 0. Käämin induktanssi L = 1 H.