Exam text content

 

SGN-11000 Signaalinkäsittelyn perusteet
Tentti 11.5.2017
Heikki Huttunen

 

 

 

> Oma laskin sallittu.

> Tenttikysymyksiä ei tarvitse palauttaa.

> Merkitse vastauspaperiin koska olet suorittanut pakolliset harjoitukset (jos ei kevät 2017).
> Vastaa konseptille. Kirjoita myös nimesi ja opiskelijanumerosi.

1. Ovatko seuraavat väittämät tosia vai epätosia? (Perusteluja ei tarvita. Oikea vastaus: 1 p,
väärä: < p, ei vastausta 0 p.) Pistemäärä pyöristetään ylöspäin lähimpään kokonaislu-
kuun.

(a) Sinisignaalin värähtelytaajuus on 8500 Hz, ja siitä otetaan näytteitä T = 33%» sekunnin
välein. Tälloin tulossignaali näyttää värähtelevän 5000 Hertsin taajuudella.

(b) Signaalin x(n)y(n) DFT on X(n) * Y(n).
(c) IIR-suotimet ovat aina stabiileja.
(d) Järjestelmän impulssivaste määrää vasteen mille tahansa signaalille.

(e) FIR-suotimen siirtymäkaistan leveys on kääntäen verrannollinen kertoimien mää-
rään.

 

(f) Lohkokaavion operaatio|T 5| lisää 4 nollaa jokaisen kahden peräkkäisen näytteen vä-
liin.

 

 

 

2. (a) Erään suotimen napanollakuvio on kuvassa 1 (vasen), ja tiedetään että sen amplitu-
divaste |H(e'*)| € [0, 1]. Hahmottele suotimen amplitudivasteen kuvaaja niin tarkasti
kuin se näillä tiedoilla onnistuu. (2p)

(b) Onko kuvan 1 suodin stabiili? Millä perusteella? (2p)
(c) Onko kuvan 1 suodin FIR vai IIR? Millä perusteella? (2p)

3. Oletetaan, että kausaalisen LTI-järjestelmän heräte x(n) ja vaste y(n) toteuttavat seuraavan
differenssiyhtälön:

yl) =yln 1) — jyln—2) +x(n) —x(n 2).

(a) Määritä järjestelmän siirtofunktio H(z).
(b) Piirrä napa-nollakuvio.
(c) Onko järjestelmä stabiili? Miksi / miksi ei?
4. Signaalin näytteenottotaajuus halutaan nostaa 20 KHz — 30 kHz.

(a) Piirrä lohkokaavio järjestelmästä, joka suorittaa muunnoksen. (3p)
(b) Mitkä ovat tarvittavien suodinten estokaistat (alku-loppu)? (3p)
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 o
1
(X a o 0 Luokka1
o
osk . X X Luokka 2
o o
04 x
o
02 x
ol si ov o x x
0.2 x
S 2 o e
-04 x -
-06 o
08 o 3 x x
4 o
4 -05 o 0.5 1 a
3 -2 -1 o 1 2 3

Kuva 1: Vasen: Tehtävän 2 napanollakuvio. Oikea: Tehtävän 5 aineisto.

5. Suunnittele Fisherin lineaarinen erottelija (LDA) kuvan 1 (oikea) datalle. Ilmoita ratkaisu
muodossa

 

1, jos|jotain

 

 

 

Näytteen x € R? luokka = -
2, muutoin

Luokkien kovarianssimatriisit ovat:

11 1/5 2
jä 3] a=5(2 af.

 

Joitakin aiheeseen ehkä liittyviä Wikipedia-sivuja

 

A more condensed form of the difference eguation is:

 

 

 

 

 

Suppose two classes of observations have means fl, g, [1,—] and covariances Zy = 0,2 = 1. Then the 1 (= s
= Pysty Fysi Ta yla] = — [3 bsajn -]- X asyln — j]
linear combination of features 27. 7' will have means W - fi,,—; and variances 17 Vysit? fort=0,1. i=0 ja1
Fisher defined the separation between these two distributions to be the ratio of the variance between the which, when rearranged, becomes:
classes to the variance within the classes: 8 a % H
2 7 = 7 2 = = 2 ajyln — j] = > dz[n — i)
5 = between — (< Pyn1 — B+ fiyao - (T-(Ty=1 — Fy=0)) jo =
Km BTY,10 + [02 2 (Dy=1t + Ya) To find the transfer function of the filter, we first take the
Z-transform of each side of the above eguation, where we use the

This measure is, in some sense, a measure of the signalto-noise ratio for the class labelling. It can be time-shift property to obtain:
shown that the maximum separation occurs when o P

a -1/= - a;7 JY(z) = Y biz" X(2)

U = (Dy=0 + Zy=1) '(Py=1 — Py=0) X 5 x
When the assumptions of LDA are satisfied, the above eguation is eguivalent to LDA. We define the transfer function to be:

Be sure to note that the vector 177 is the normal to the discriminant hyperplane. As an example, in a two
dimensional problem, the line that best divides the two groups is perpendicular to 177.

Generally, the data points to be discriminated are projected onto 277; then the threshold that best separates
the data is chosen from analysis of the one-dimensional distribution. There is no general rule for the
threshold. However, if projections of points from both classes exhibit approximately the same distributions,

the good choice would be hyperplane in the middle between projections of the two means, 10) - jZ, g and
W - jly= In this case the parameter c in threshold condition 37? . 37 < c can be found explicitly

c= 5: (jiy-o + ly=1)/2

 

Considering that in most IIR filter designs coefficient Gg is 1. the IIR
fiiter transfer function takes the more traditional form:

7 yht

1+ Yo aj27

 

H(z) =

 

 

 

 

 

 

 
 

 

Inversion of 2x2 matrices [edit]
The cofactor eguation listed above yields the following result for 2x2 matrices. Inversion of these matrices can be done
easily as follows:2!

ats[e 07. 1 [d4—-] 1 d +»
—|e dj] — det(A)[-c a] ad-be|—e al'

Technigues west — - - :
Practical approaches to sample-rate conversion include: converting to analog then re-sampling at the new rate, or calculating the values of

the new samples directiy from the old samples. The latter approach is generally preferred since it introduces less noise and distortion;3!
two possible implementation methods are as follows:

 

 

1.1f the ratio of the two sample-rates is (or can be approximated by)!" !! a fixed, rational number L/M: generate an intermediate signal
by inserting L-1 Os between each of the original samples. Low-pass filter this signal at half of the lower of the two rates. Select every
MP sample from the filtered output, to obtain the result"!

2. Treat the samples as geometric points and create any needed new points by interpolation. Choosing an interpolation method isa
trade-off between implementation complexity and conversion guality (according to application reguirements). Commonly used are:
ZOH (for film/video frames), cubic (for image processing) and windowed sinc function (for audio).

 

3 (3)