Exam text content

MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt
2. Välikoe 22.3.2013

Kirjoita jokaiseen konseptiin nimesi ja opiskelijanumerosi. Tee tehtävät siististi konsepteille väli-
vaiheet perustellen.

Tentissä saa olla yksi kaksipuolinen A4 käsin kirjoitettu muistilappu, jota EI tarvitse palauttaa.

1. Ratkaise alkuarvo-ongelma

5 =21 71(0) = 1,
Th = -T2+73, T2(0)=0,
15 =, 23(0) = 1,
Th = -2%4, x4(0) = 0,

matriisimenetelmällä.

2. Tarkastellaan esponenttimatriisia

0010 cos(t) — sin(t) tcos(t) tsin(t)] [0 11 0
ta = a |0 0 1 —1| [—sin(t) cos(t) —tsin(t) tcos(t)| |0 01 -1
C= 5090 0 0 0 =— cos(t) — sin(t) | (1 00 0
000 1 0 0 ——sin(t) cos(t) | |0 00 1
cos(t) —tsin(t) —sin(t) tcos(t)— tsin(f) + sin(t)
E a [0 cos(t) + sin(t) 0 2:sin(t)
= sin(t) tcos(t)— sin(t) —cos(t) ftsin(t)+tcos(t) — sin(t)
l 0 — sin(t) 0 cos(t) — sin(t)

Mitkä ovat matriisin A ominaisarvot ja ominaisvektorit, sekä näitä vastaavat yleistetyt ominais-
vektorit? Mitkä ovat ominaisarvojen algebralliset kertaluvut? Onko eksponenttimatriisi stabiili
(ja miksi on/ei ole)? Mikä on matriisin A Jordanin kanoninen muoto?

3. Tiedämme matriisista A seuraavaa. Ainoat ominaisarvot ovat A, = 1 ja A2 = 2 siten, että
alg(A) = 1 ja alg(A2) = 3. Ominaisarvoihin liittyy ominaisvektorit v1 ja vo. Miten lasket näistä
tiedosta similaarimuunnosmatriisin, joka muuntaa matriisin A Jordanin kanoniseen muotoon?
Mikä tämä muoto on?

< j