Exam text content

MAT-20450 Fourier'n menetelmät Tentti:6:4.2010

— Ei muistiinpanoja, kirjallisuutta, laskinta.
— Jokaiseen paperiin nimi ja opiskelijanumero.

1. Olkoon T-jaksoisella funktiolla (1) Fourier-sarja

0
f()= E. + Y (an cosnot + b, sinnot),
n=1
missä »=27/T ja missä kertoimet ovat toistaiseksi tuntemattomia. Johda
eli päättele kertoimelle a] tai bj (kumpi lieneekin tullakseen) laskukaava
seuraavasti: integroi yhtälö

f(t) cos(or) = E cos(mr)+ y (a, cos(not)cos(mf)+ b,, sin(not) cos(0r))

n=1
T/2
puolittain | ...dt ja oleta, että yhtälön oikea puoli saadaan integroida
-T 12

yhteenlaskettava kerrallaan. Päättele jokaiselle oikean puolen integraalil-
le arvo hyödyntäen integroitavan parittomuus ja jo(i)tain seuraavista:

2 sin(a) sin(b) = cos(a-b) — cos(a+b),
2 cos(a) cos(b) = cos(a-b) + cos(a+b),
2 cos(a) sin(b) = sin(a+b) — sin(a-b).

2. Funktio f(f) = sin(f) (-n/2 <t < m/2) jatketaan m-jaksoiseksi. Hah-
mottele sen kuvaajaa. Laske funktion f(f) (jatketun version) Fourier-sarjan
kompleksiversiolle kaikki kertoimet

] d+T ä 1 d+T d+T
ep== | fe! dt=( | f()cos(not)dt-j | f(t)sin(not) dt)
T a T a d

hyödyntäen funktion parillisuutta tai parittomuutta sekä jotain tehtävän 1
kaavoista, ja muodosta lopuksi funktion kompleksinen Fourier-sarja

fl)= Yepeitt.

Helpottava voi olla myös sin(x-y) = sin(x) cos(y) — cos(x) sin(y).
Käännä!
3. Olkoon c> 0. Laske Fourier-muunnoksen määritelmästä
> .
F(jo) = [ Se! dr
-—0

lähtien muunnos pulssille

0 (1<0)
26! (1>0)

et
b) 40=| e, 00

2) 140=| ETT

Yhdessä kirjassa "ideoidaan" uusia Fourier-muunnopareja katsomalla,
mitä tapahtuu funktioille ja niiden muunnoksille, kun c > 0+.

c) Mitkä ovat a-kohdassa funktion f;(f) ja sen muunnoksen F,(jo)
raja-arvofunktiot, kun c > 0+?

b) Mitkä ovat b-kohdassa funktion f(t) ja sen muunnoksen Fj(jo)
raja-arvofunktiot, kun c > 0+?

Kommentti: Jos laskit oikein, niin sait saman raja-arvofunktion kummallekin Fourier-
muunnokselle. Tuon kirjan ideoinnissa on siis pakko olla jotain vikaa. Fourier-
muunnoksen käänteismuunnos ei nimittäin voi olla kaksi eri funktiota samanaikaisesti.

4. Olkoon F(f(N) = F(jo). Päättele Fourier-muunnos funktiolle

f(t) cos(my?) cos(mo)

seuraavasti: esitä trigonometrinen funktio eksponenttifunktion avulla,
käytä lineaarisuutta ja taajuussiirto-ominaisuutta (yksi alla luetelluista).

Tiedetään, että H =cosx+ jsinx,

joten e =cosx-jsinx ja e*+e=2cosx ja e*-e=2jsinx.

Ominaisuuksia: Jos T(f(f)) = F(jo), niin Fif(-7)) = eI 0) ja Fit fr =
F((0-a)) ja FIFGN; =2nf(-o).