Exam text content

 

S TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO

MAT-20401 Vektorianalyysi
Tentti 15.12.2010

Ei laskinta eikä taulukkokirjoja. Kaavaliite on ohessa.

 

 

 

+ Olkoot kahden kappaleen paikkavektorit ajan t funktioina

ri (t) = (3+20)i+tj + (1—1)k ja

r9(t) = (5-28) +(1— 9)j + k.
a) Osoita, että kappaleet liikkuvat pitkin samaa käyrää.
b) Määritä parametriväli kummassakin tapauksessa, kun liike tapahtuu pis-
teiden (3,0.1) ja (21.9. —8) välillä.
c) Laske kummankin kappaleen maksimi- ja minimivauhti b-kohdan siirty-
missä.

1. :
. Olkoon $ paraboloidin 2 = 3? +9") se osa, joka on tason 2 = 4 alapuolella.

Laske S:n pinta-ala.

. Olkoon S sylinteripinnan puolikas

S =I(z,y.2) ERI: ?+0?=3, x <0,0<2<2).
Laske kentän F(z.y. 2) = zi + 2zj + yk vuo S:n läpi 2-akselista poispäin.

. Vastaa vain joko A- tai B-kohtaan (huonompi huomioidaan).

A. Laske kentän F(z.y, 2) = z9i + y?j + 2?k vuo puolipallon
T = ((x.y.2) ER': ++ <4,y<0)
reunapinnan läpi joukosta T' poispäin.
B. Kohdissa i ja ii Matlab-koodilla yritetään ratkoa eräs kurssin pintain-
tegrointitehtävä.

Selvitä kummassakin kohdassa, mikä tehtävä on kyseessä. Erityisesti ku-
vaile tarkkaan, millainen pinta $ on (ilmaise S esimerkiksi zy2-koordinaateissa,
sanallisesti tai hyvän kuvan avulla).

Toisessa koodeista on lisäksi virhe. Mikä se on ja miten se korjataan?

1)

syms x y z u v real
r=[sgrt(2)*sin(u)*cos(v),sgrt(2)*sin(u)*sin(v),sgrt(2)*cos(w]
N=cross(diff(r,uv),diff(1,v))

NN=sgrt (NN?)
int(int(subs(x"2+y"2+z”2,[x,y,z],r)*NN,u,0,pi/2),v,0,2*pi)

ii) :

syms x y z u v real

T=[uxcos(v) ,u*sin(v) ,z]

F=[x*y,y*z,72*x]
int(int(int(subs(div(F,[x,y,z]),[x,y,z],T),v,0,1),v,0,pi) ,z,0,1)

 

Tehtäväkohtaiset tulokset julkaistaan POPissa periodin 2/2010—2011 toteu-
tuskerran sivulla.