Exam text content

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m = fa
Vastaa een kysymykseen ja perustele vastauksesi huolelhsesti! Tentissä ei saa käyttää muistiin-
panoja, kirjallisuutta eikä laskinta.. HUOM. Tehtävät EIVÄT ole vaikeusjärjestyksessä!

Kirjoita kaikkiin papereihin selkeästi nimesi, opiskelijanumerosi ja myös ot Nöijeleunsi.
— Muistathau antaa palauivtta-Kaiku-järjestelmän kautta-saadaksesi opintesnorituksen. —— Som
(a) (3 pistettä) Olkoon R = ((a,a), (a,b), (b, c), (e, d), (d,8)7, R : fa,;6,d1 ++ fa,0,0,d).
Esitä seuraavat sulkeumat s 4
* r(R), 2
* s(R), n 4 |
x (R).
(b) (3 pistettä) Osoita, että (avoimet) reaalilukuvälit (1,2) ja (4, 10) ovat yhtä mhtavia.

    

2. Vastaa lyhyesti perustellen kohtien (a)-(f) kysymyksiin. Tarkastellaan joukkoja |
R:Z 7, R=((a,d)||a| >) ja S:Z 7 S= ((a, &)||a| < 0)

(a) Onko relaatio R ne
m <) -Cakox 5 ist

(e) Mikä on joukko RN E

(d) Onko relaatio R N S funktio?

(e) Onko relaatio RN S injektio?
E. (f) Onko relaatio R N $ surjektio?

 

3. Osoita tautologioita. ja päättelysääntöjä käyttäen (ilman totuustaulua), että
(4 VB)IAAS OA (>C + 2B) A (0 + D)) =D

on pätevä teoria. Vinkki: epäsuoratodistus. = 2

4. (a) (2 pistettä) Osoita määritelmän nojalla, että 1n(2n3 — 6n?) = tnn) =

(b) (4 pistettä) Täydennä seuraavaa todistukseen puuttuvat kohdat Vr GF - Pa)» ——
(3r p(z) > 3z g(x)

 

 

1 Vz (p(z) > g(x)) B
2 Jeplz) — —
| 3 P(d)
| 4. -—d) > dd) ——
5. 3,4, MP
6 37 d(x)
Fa 2.6. CP, alitodistus
M.O.T 17 CP

KAAVOJA ON PAPERIN TOISELLA PUOLELLA.

 
 

Negaatio | Disjunktio | Konjunktio | Implikaatio Ekvivalenssi
—p=p | pVt=t |pit=p |p-t=t PO a=(p> DN4>P)
pVve=p phe=e p>e=-p
PVPSPSPAPSD | [200
A > +pVop=t|phsp=eie—>p=t = =:
e pop=t
P>d="PVd
P= ddnp.

Loogisia ekvivalensseja eli tautologioita.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vaihdantalait

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Liitäntälait Osittelulait
PNa=4Np | PA(aNT)= (PAJAT | PA(aVr) = (pAg) V(pAr)
PVa=4Vp | pv (gVr) = (pVa) vr | ?V(gAr) = (p Va) AlpVr)
De Morganin lait s
"(p Ad) =-pV-g =
(p Va) = PM g =
Inferenssisääntöjä
MP MT Conj Simp
AAB | A+B,-B A,B ANB
<B TA J ANB TA
= Zsa Add DS HS
AA |—-avs-|-455;8—0
JJAVB TA 0 43>C
muista rajoitukset
UI UG EG EI
Va W(z) W(t) W(t) 32 W(z)
KO) +. Vo W (x) +. Jo W (7) +. W)

 

 

 

 

 

 

Ekvivalensseja

 

Va W (z) = 3 W (x)

3z (A(x) V B(z)) = 3x A(z) V Ax B(z)
Ao (A(x) > B(z)) = Vx A(x) > Ar B(z)
Jo Jy W (2,4) = Jy 32 W (27,7)

 

0-10)
Va (A(x) AB(x)) = Vx A(x) A Ve B(z)
Va Vy W (7,4) = Vy Va W (x,y)

 

 

 

 

Yz(iCV A(z)) = CV Vz A(x)
Jo (CV A(z)) = CV 3z A(x)
Ve (C+ A(a)) =C > Vm Ala)
—vr(M2) =C) = 3zAla) > C |

 

 
  
  

Vz(CAA(z)) = CAVz A(x)
Ao (CM A(2)) = CN3z A(x)
Je (C+ A(x)) = C+ 3x A(x)
3z (A(x) > C) = Va A(x) > C

 

 

Implikaatioita

 

Vaa) > 3=4(2)
Va A(x) V Vx B(x) > Ya (A(x) VB(z))
Jy Ya W (2,4) > Va 3y W (2;4)

 

Jo (A(z) A B(z)) > 3x A(x) A Ax B(z)
Vz (A(z) > B(z)) > Vx A(z) > Va B(z)